MATEMÁTICAS V SUBTEMA 3.10 Teorema de la Convolución

Una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo. Aplicado a las matemáticas, se define por medio del siguiente teorema:

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

Sea F(s) = L [f (t)] y G(s) = L [g (t)], entonces:

Links de apoyo con ejemplos:

Link 1

Link 2

VIDEOS:

3.7 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que          existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración.

3.6 PROPIEDADES TRANSFORMADA DE LAPLACE

Se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

 

3.5 Funcion de escalon unitario y 3.5.1 Trasformada de Laplace Funcion escalon unitario

Este metodo fue creado por el matematico ingles Oliver Heaviside, dice que es una funcion discontinua cuyo valor es 0 para cualquier numero negativo y 1 para cada valor positivo:

Propiedades
cambio de signo del argumento

 eribada en sentido de la distribucion

Transformada de Laplace

 

 

limites

3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Este tema se puso en dos publicaciones anteriores por este motibo solo pondre puras formulas ya que toda la parte teorica esta en la primera publicacion y como ya lo puse una vez se me hace una perdida de tiempo explicar lo que ya se leyo
funcion completa:

y esto equibale:

 funcion complecta:








equibalente:
estas funciones solo son ejemplos de como las pueden encontar en libros internet
NT:En esta publicacion me disculpo ya que no pude encontrar videos pertinentes para la descripcion de estos temas asi que dedicare mas tiempos para encontrar unos videos y despues publicarlos para que el entendimiento sea mas facil

3.3 Transformada de Laplace de funciones basicas

cuando se habla de la transformada de Laplace se refiere a la vercion unilateral, aun que tambien podemos encontrar la transformada en vercion bilateral que esta misma de sefine de ala siguiente manera:

 

Esto Quiere decir  que f(x) tambien exsiste para todos los numeros reales s<a donde a es una constante que depende mucho del incremento de f(t) que es la funion del tiempo.

y  sus propiedades son:

 

potencia-n:

 

nota: miren aqui exsiste una funcion para cada problema que es seno, conseno, logaritmo natural asi que la verdad no las pondre porque se supone que lo tengo que hacer atractibo a los lectores y si pongo informacion sobre informacion los boy a aburrir ahora que si quieren que ponga todo solo comenten, si asi deciden que ponga lo demas lo are con ejersicios resueltos y todo  

3.2 Condiciones Suficientes de exsistencia para la transformada de Laplace

Como se save la  Transformada de Laplace esta definida como una integral impropia y esta misma no converge esto quiere decir que no necesaria mente exsiste una funcion, que satisfaga a dicho procedimiento.
Para la solucion de estas hay dichas formulas o funciones que pueden ser discontinuas como la del ejemplo anterior que tenia transformada de esta introduccion se desprende un tema que se le llama "Funciones continuas a trozos":


Funciones continuas a trozos

Se dice que f (funcion) es continua a trozos si en los intervalos [a,b], solo nosera una funcion continua si uno d elos intervalos va hacia el infinito

Funciones de orden exponencial

Una funcion puede ser exponencial siempre y cuando exsista una constante positiva k, y  

pues bueno eso es todo de mi parte les dejo un pequeño video que a mi pareser es muy importante ya que enseña aplixaxiones reales de la transformada de Laplace

Trasformada De Laplace

Definicion.

Sea f (t) una funcion de t definida por t > 0. La transformada de la Laplace de f (t) se define como:

L[f(t)]=F(s)=∫e^-st f(t)dt

Propiedades de la transformada de Laplace.

1.-Suma y Resta.

Sean F1 (s) y F2(s) las transfomadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L [ f₁(t) ! f₂(t) ] = F₁(s) ! F₂(s)

2.- Maultiplicacion por una constante

Sean k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

3.Diferenciacion

Sea f(t) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es ellimite de f(t) cuando tiende a cero. La transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0) 

 En general, para las derivadas de orden superior de  f(t):

L { dⁿf(t)/dtⁿ} = sⁿ F(s) - s^n-1 f(0) - s^n-2 f⁽¹⁾(0) - ..... - f ^(n-1)(0).

4.-Teorema del Vlaor Inicial

Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lím f(t) = Lím s F(s)        

si exsiste el limite.

  

ahora aqui les comparto unos videos que me encontre en la red y pues creo son acorde el tema